关于位置族在积分$L_2$和$L_1$损失下的预测密度估计

我们的研究涉及预测密度的估计，并通过此类预测密度在积分$L_2$和$L_1$损失下的频率主义风险来研究其效率。我们的发现涉及$p$维球对称可观测量$X \sim p_X(\|x-\mu\|^2)$，以及基于$X$估计$Y \sim q_Y(\|y-\mu\|^2)$密度的目标。对于$L_2$损失，我们描述了贝叶斯估计、最小风险等变估计 (MRE) 和极小极大估计。我们重点关注基准最小风险等变估计量、plug-in 估计量以及具有扩展尺度的 plug-in 型估计量的风险表现。对于多元正态情形，我们利用了一个与点估计问题的对偶结果，引入了反射正态损失。在三维或更高维度（即$p \geq 3$）下，我们证明了 MRE 估计量在$L_2$损失下是不可容许的，并提供了占优估计量。这引入了用于估计多元正态均值的 Stein 型结果，其损失是$\|\hat{\mu}-\mu\|^2$的凹增函数。我们还研究了形式为$q_Y(\|y-aX\|^2)\,, 0<a \leq 1\,$的 plug-in 密度估计量的改进现象，通过尺度扩展子类$\frac{1}{c^p} \, q_Y(\|(y -aX)/c \|^2)$（其中$c>1$）实现，并在某些情况下（对于足够大的$p$不可避免）表明所有$c>1$的选择均为占优估计量。我们将结果推广至正态尺度混合分布，包括$p \geq 3$时 MRE 估计量的一般不可容许性结果。最后，我们描述并扩展了$p \geq 4$的球对称分布在$L_1$损失下类似的 plug-in 占优结果。