切比雪夫与平衡测度对比伯恩斯坦与勒贝格测度
最优化与控制
2023-03-27 v1 统计理论
统计理论
摘要
我们证明了伯恩斯坦多项式与 [0, 1] 上的勒贝格测度之间的关系，类似于切比雪夫多项式与 [−1, 1] 上的平衡测度之间的关系。我们还证明了切比雪夫多项式所满足的佩尔多项式方程给出了 [−1, 1] 的一个单位分解，其类比于由伯恩斯坦多项式给出的 [0, 1] 的单位分解。这两个单位分解都被解释为如下一个特定的代数证书：常数多项式“1”在 [−1, 1] 上为正（经由 Putinar 正性证书，对应切比雪夫）以及在 [0, 1] 上为正（经由 Handeman 正性证书，对应伯恩斯坦）。然后在第二步中，将此单位分解与 Nesterov 在凸锥优化中的一个对偶结果的解读相结合，从而得到与 [−1, 1] 上的平衡测度（对应切比雪夫）以及 [0, 1] 上的勒贝格测度（对应伯恩斯坦）的显式联系。最后，这一联系对于“d”维单纯形也部分地建立起来。
引用
@article{arxiv.2303.13975,
title = {Chebyshev and Equilibrium Measure Vs Bernstein and Lebesgue Measure},
author = {Jean-Bernard Lasserre},
journal= {arXiv preprint arXiv:2303.13975},
year = {2023}
}