无限图上无限时长博弈中位置性的刻画

我们研究基于回合的、无限时长的定量博弈，该博弈由两名对抗玩家在图上进行的。这一模型被广泛认为是形式化反应式系统合成问题的恰当框架。这一重要应用引发了关于策略复杂度的疑问：哪些赋值（或收益函数）允许最优位置策略（无记忆）？对于有限图，两名玩家均具有最优位置策略的赋值已由 Gimbert 和 Zielonka 刻画；对于无限图，则由 Colcombet 和 Niwiński 刻画。然而，对于反应式合成而言，对手（建模为对抗性环境）存在最优位置策略并不相关。尽管如此，关于主角无论对手如何均允许最优位置策略的赋值，人们所知甚少。在本工作中，我们刻画了在无限博弈图上允许此类策略的赋值。我们的刻画使用了通用图 (universal graphs) 的术语，该术语也被证明有助于理解关于 parity 博弈复杂度的近期突破性结果。更确切地说，我们表明，允许单调且良序的通用图的赋值在所有博弈图上都是位置的，并且——更令人惊讶地——对于允许中性颜色的赋值，其逆命题也成立。我们通过统一若干已知的位置性结果、证明新的结果以及建立字典积下的闭包，证明了该框架的适用性与优雅性。最后，我们讨论了一类在可数并下封闭的前缀无关位置目标。