定量游戏中计数步数的作用

我们研究在图上进行的无限期持续时间的确定性游戏，关注定量目标的策略复杂度。已知在有限图上，这类游戏可实现最优无记忆策略，但在一般的无限图上则需要无限记忆策略。我们给出针对无限图上均值收益和总收益目标的策略复杂度的新的下界和上界，关注计数器策略（有时称为马尔可夫策略）是否足以实现获胜策略。特别地，我们证明在有限分支的竞技场上，三个 limsup 均值收益和总收益目标的变体，允许基于计数器或计数器和额外一位记忆的获胜策略。相反，我们证明对于某些 liminf 总收益目标，仅依赖计数器和有限记忆的策略是不足够的。对于计数器策略，本文确立了所有经典定量目标至巴尔层次第二层的情形。