无限优先级游戏的位置决定性

我们研究了在有限或无限游戏图上进行的持续时间为无穷的两人游戏。若一种游戏的获胜策略仅依赖于当前位置，而不依赖于游戏历史，则称为该策略为位置决定的。如果从每个位置都有一个玩家拥有位置决定的获胜策略，则称该游戏为位置决定的。对于由将每个位置分配一个来自有限集合的优先级来定义的获胜条件，游戏的理论已广泛研究。在穆勒游戏中，游戏的获胜者由无限次数看到的优先级集合决定；一个重要的特例是奇偶游戏，其中由无限次数看到的最小（或最大）优先级决定获胜者。众所周知，奇偶游戏是位置决定的，而穆勒游戏则通过有限记忆策略来决定。本文将该理论扩展到具有无限多个优先级的游戏的情况。此类游戏在多个应用领域中出现，例如在堆栈内容决定获胜条件的下推游戏中。对于奇偶游戏，存在若干对无限多个优先级的泛化。虽然最大奇偶游戏在 omega 上或优先级为大于 omega 的最小奇偶游戏需要无限记忆策略，但我们可以证明优先级在 omega 中的最小奇偶游戏是位置决定的。事实上，最小奇偶条件在 omega 上是唯一能在所有游戏图上保证位置决定性的无限穆勒条件。