若干群基于中心化子的刻画
群论
2022-07-04 v2
摘要
群 G 若其元素中心化子个数 |Cent(G)|=n，则称为 n-中心化子群；若每个非中心元素中心化子不含其他元素中心化子，则称为 F-群；若所有非中心元素中心化子均为阿贝尔群，则称为 CA-群。对任意非阿贝尔 n-中心化子群 G，我们证明 |G/Z(G)| ≤ (n-2)^2（当 n ≤ 12 时），否则 |G/Z(G)| ≤ 2(n-4)^{log_2^{(n-4)}}，这改进了早前结果。我们证明若 G 为任意非阿贝尔 n-中心化子 F-群，则 gcd(n-2, |G/Z(G)|) ≠ 1。对有限 F-群 G，我们证明 |Cent(G)| ≥ |G|/2 当且仅当 G ≅ A_4、一个 extraspecial 2-群或一个具有阿贝尔核与 2 阶补群的 Frobenius 群。在其他结果中，对具有非平凡中心的非平凡有限群 G，证明 |Cent(G)| = |G|/2 当且仅当 G 为 extraspecial 2-群。我们给出了一族非 CA-群的 F-群，并推广了早前的一个结果。
引用
@article{arxiv.2109.10530,
title = {Characterizations of some groups in terms of centralizers},
author = {Sekhar Jyoti Baishya},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.10530},
year = {2022}
}