具有 $L_p$ 度量的模糊集空间中紧集的刻画

在本文中，我们给出了配备了 $L_p$ 度量的模糊集空间 $F_B(\mathbb{R}^m)$ 和 $F_B(\mathbb{R}^m)^p$ 中全有界集、相对紧集和紧集的刻画，其中 $F_B(\mathbb{R}^m)$ 和 $F_B(\mathbb{R}^m)^p$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的两种广义模糊集，不具有任何凸性或星形性质的假设。$F_B(\mathbb{R}^m)^p$ 的子集包括常见的模糊集，如模糊数、关于原点的模糊星形数、模糊星形数以及 Qiu 等人引入的广义模糊星形数。针对配备了 $L_p$ 度量且其全集分别为前三种常见模糊集的三种模糊集空间，陈述了现有的紧性准则。构建关于 $L_p$ 度量的模糊集空间的完备化是一个与刻画全有界集密切相关的问题。基于前面对全有界性和相对紧性的刻画以及对模糊集凸性和星形性质的一些讨论，我们证明了本文中提到的模糊集空间的完备化可以通过使用 $L_p$-扩张来获得。我们还阐明了本文讨论的所有十个模糊集空间之间的关系，它们由五对原始空间和相应的完备化组成。然后，我们证明了本文提到的 $F_B(\mathbb{R}^m)$ 和 $F_B(\mathbb{R}^m)^p$ 的子空间对全有界集、相对紧集和紧集具有平行的刻画。最后，作为我们结果的应用，我们讨论了模糊集空间上 $L_p$ 度量的性质，并重新审视了先前工作中提出的紧性准则。