Calabi-Yau 4-折中的 Cayley 子流形

我们的主要结果是: (1) 非复拉格朗日 $2n$ 维子流形 $F:M\ra N$ 的复点以及拉格朗日点, 该子流形以平行平均曲率且具相等 Kaehler 角浸入到复维数为 $2n$ 的 Kaehler-Einstein 流形 $(N,J,g)$ 中, 分别是 $\sin^2\theta$ 与 $\cos^2\theta$ 的有限阶零点, 其中 $\theta$ 为公共的 $J$-Kaehler 角。(2) 若 $M$ 是复维数为 4 的 Calabi-Yau (CY) 流形 $N$ 的 Cayley 子流形, 则 $\bigwedge^2_+NM$ 自然同构于 $\bigwedge^2_+TM$。(3) 若 $N$ 是 Ricci-平坦的 (不一定是 CY) 且 $M$ 是 Cayley 子流形, 则 $p_1(\bigwedge^2_+NM)= p_1(\bigwedge^2_+TM)$ 仍然成立, 但 $p_1(\bigwedge^2_-NM)- p_1(\bigwedge^2_-TM)$ 可能描述在 $J$-复点上的一个残差, 在 Harvey 与 Lawson 的意义下。我们用自然态射 $\Phi:TM \to NM$, $\Phi(X)=(JX)^{\bot}$ 上的一个 PDE 来描述此残差, 该态射在复点处有奇点。我们给出了此残差在一种特殊情形下的显式公式。当 $(N,I,J,K,g)$ 是超 Kaehler 流形且 $M$ 是 $I$-复闭 4-子流形时, $M$ 的第一个 Weyl 曲率不变量可借由 Lelong-Poincar\'{e} 型公式描述为在 $J$-拉格朗日点处 $J$-Kaehler 角上的一个残差。我们研究由 $F$ 诱导的 $M$ 上的殆复结构 $\Jw$。