细胞自动机的范畴积

我们研究两种细胞自动机范畴. 首先, 对任意群 $G$, 我们考虑范畴 $\mathcal{CA}(G)$, 其对象是形如 $A^G$ 的配置空间,其中 $A$ 为集合,其态射是形如 $\tau : A_1^G \to A_2^G$ 的细胞自动机. 我们证明了 $A_1^G$ 和 $A_2^G$ 在 $\mathcal{CA}(G)$ 中配置空间的范畴积是配置空间 $(A_1 \times A_2)^G$. 然后, 我们考虑广义细胞自动机范畴 $\mathcal{GCA}$, 其对象是形如 $A^G$ 的配置空间,其中 $A$ 为集合且 $G$ 为群,其态射是形如 $\mathcal{T} : A_1^{G_1} \to A_2^{G_2}$ 的 $\phi$-细胞自动机,其中 $\phi : G_2 \to G_1$ 为群同态. 我们证明了 $A_1^{G_1}$ 和 $A_2^{G_2}$ 在 $\mathcal{GCA}$ 中配置空间的范畴弱积是配置空间 $(A_1 \times A_2)^{G_1 \ast G_2}$,其中 $G_1 \ast G_2$ 为 $G_1$ 和 $G_2$ 的自由积. 之前的结果使我们能够自然定义 $\mathcal{CA}(G)$ 中两个细胞自动机的积以及 $\mathcal{GCA}$ 中两个广义细胞自动机的弱积.