论元胞自动机的最小记忆集

对于群 $G$ 和有限集 $A$，元胞自动机（CA）是通过有限记忆集 $S \subseteq G$ 和局部映射 $\mu : A^S \to A$ 定义的变换 $\tau : A^G \to A^G$。虽然记忆集不是唯一的，但每个CA都有一个唯一的最小记忆集，它由所有影响局部映射行为的 $S$ 中的本质元素组成。在本文中，我们研究了最小记忆集与 $\mu$ 的生成模式 $\mathcal{P}$ 之间的联系；这些模式是 $A^S$ 中在应用元胞自动机时不被固定的模式。特别地，我们证明当 $\vert S \vert \geq 2$ 且 $\vert \mathcal{P} \vert$ 不是 $\vert A \vert$ 的倍数时，最小记忆集必须是 $S$ 本身。此外，当 $\vert \mathcal{P} \vert = \vert A \vert$、$\vert S \vert \geq 3$，并且 $\mu$ 在这些模式上的限制表现良好时，最小记忆集必须是 $S$ 或 $S \setminus \{s\}$，其中 $s \in S \setminus \{e\}$。这些是关于元胞自动机最小记忆集的首批一般理论结果之一。