元胞自动机的有限幺半群

对任意群 $G$ 和集 $A$，基于 $G$ 和 $A$ 的元胞自动机是一个变换 $\tau : A^G \to A^G$，通过一个有限邻域 $S \subseteq G$（称为 $\tau$ 的记忆集）和一个局部函数 $\mu : A^S \to A$ 定义。在本文中，我们假设 $G$ 和 $A$ 均为有限，并研究由所有基于 $G$ 和 $A$ 的元胞自动机构成的有限幺半群 $\text{CA}(G,A)$ 的各种代数性质。令 $\text{ICA}(G;A)$ 为基于 $G$ 和 $A$ 的可逆元胞自动机群。在第一部分，利用关于 $G$ 的子群共轭类的信息，我们借助直积与圈积给出了 $\text{ICA}(G;A)$ 结构的详细描述。在第二部分，我们研究 $\text{CA}(G,A)$ 的生成集。特别地，我们证明 $\text{CA}(G,A)$ 不能由具有小记忆集的元胞自动机生成；并且当 $G$ 为有限阿贝尔群时，我们确定了集合 $V \subseteq \text{CA}(G;A)$ 的最小大小，使得 $\text{CA}(G,A) = \langle \text{ICA}(G;A) \cup V \rangle$。