群上加性元胞自动机行为的约化

有限群上的一类加性元胞自动机(ACA)由指标群$\m g$和素数模$p$的有限域$\m F_p$定义\cite{Bul_arch_1}。本文主要研究无限交换群以及它们与某些非交换$p$-群的直积上的ACA。结果表明，对于所有阿贝尔群，具有有限支撑的规则和初始状态所定义的行为，在限制到某些无限正则时间序列时变得显著简化。特别地，对于具有$n$个生成元的自由阿贝尔群，在时间$t=p^k,k>k_0$时刻，具有规则$R$的ACA的状态$V^{[t]}$可视为$||R||$个初始状态$V^{[0]}$的副本在$n$维欧氏空间中运动。也就是说，该行为类似于J.Conway的元胞自动机{\sl Life}中的滑翔机。对于其他一些特殊无限时间序列，元胞自动机状态逼近自相似结构，且逼近程度随时间提高。描述了一类无限非交换$p$-群$\mathrm{DHC}(\mbf S,\theta)$，它特别包含四元数群和二面体$p$-群。结果表明，对于来自类$\mathrm{DHC}(\mbf S,\theta)$的非交换群与交换群的直积，行为的简化同样成立。最后，构造了一个非交换群上的元胞自动机，其在时间$2^k,k\ge2$时刻的行为类似于滑翔机枪。结论是，与交换群上的ACA相比，非交换群上的ACA展现出更多样化的行为。