卡尔·斯托姆er与他的数

在许多费马平方定理的证明中，二次同余方程 $x^2 \equiv -1 \bmod p$ 的最小最小余数解 $x_0$ 起着关键作用，其中 $p$ 为素数且 $p \equiv 1 \bmod 4$。此类 $x_0$ 称为斯托姆er数，命名以挪威数学家和天文学家卡尔·斯托姆er (1874-1957) 致敬。本文建立了 $x_0 \in \mathbb{N}$ 为某个素数 $p \equiv 1 \bmod 4$ 的斯托姆er数的必要充分条件。斯托姆er对斯托姆er数的研究动机源于他对表达 $\pi$ 为某些Gregory-MacLaurin级数 $\arctan(1/x)$ 值的有限线性组合恒等式的研究。由于1900年前不足600位数字的 $\pi$ 已知，逼近 $\pi$ 成为重要议题。1896年，斯托姆er发现的某一恒等式被雅木萨·卡纳德及其团队于2002年用于计算出1.24万亿位 $\pi$。我们还讨论了斯托姆er将这些数与Gregory数及 $\pi$ 逼近联系起来的工作。