有限 Radon 测度势的容量可微性

我们研究形如 $K\star \mu$ 的势的可微性性质,其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的有限 Radon 测度,核 $K$ 满足 $|\nabla^j K(x)| \le C\, |x|^{-(N-1+j)}, \quad j=0,1,2.$ 我们引入一种容量意义下的可微性概念,其中容量是与核 $|x|^{-(N-1)}$ 相关联的 de la Vallée Poussin 意义下的经典容量。我们要求在点处的一阶余项,当通过以该点为中心的小半径球中的归一化弱容量“范数”度量时,是小的。这意味着弱 $L^{N/(N-1)}$ 可微性,从而在 Calderón--Zygmund 意义下对 $1\le p < N/(N-1)$ 给出 $L^{p}$ 可微性。我们证明 $K\star \mu$ 在容量意义下几乎处处可微,从而加强了 Ambrosio、Ponce 和 Rodiac 近期的结果。我们也给出上述作者所证定量定理的另一种证明,给出 $K\star \mu$ 的点态 Lipschitz 估计。作为应用,我们研究有限 Radon 测度的牛顿势的水平集。