能听出矩阵吗？从谱数据恢复实对称矩阵

实对称 $N\times N$ 矩阵的谱在酉等价意义下决定该矩阵。需要更多谱数据以及一些符号指示量来消除酉模糊性。在本工作的第一部分，我们明确了一般矩阵唯一重构所需的谱信息与符号信息。更具体地，谱信息由原始矩阵大小为 $1,2,\dots,N$ 的 $N$ 个嵌套主子矩阵的谱组成。然而，由于所需符号数据的复杂性，为使重构过程可行，仍需改进。有鉴于此，第二部分限于带状矩阵，其中谱数据量超过未知矩阵元素个数。研究表明，可利用这一冗余保证{\it 一般}矩阵的唯一重构，换言之，该矩阵子集在实数对称带状矩阵集中是开集、稠密集且具满测度。研究表明，可利用谱信息输入选择的自由度来优化冗余度与一般性的比率。我们针对五对角矩阵详细演示了我们的构造。