奇数维球面的Sasaki体积校准与无间隙问题

对于每个奇数维球面 $S^n$（$n=2m+1\ge 5$），我们考虑作用于光滑单位切向量场 $V$ 的Sasaki体积泛函 $\mathrm{Vol}^S(V)=\int_{S^n}\sqrt{\det(I+(\nabla V)^\top(\nabla V))}\,d\mathrm{vol}$。利用在单位切纤维束 $E=UT S^n$ 上 $\omega=a\wedge\Theta$ 的Gluck-Ziller校准（扩展至常截至曲率下由Brito-Chacón-Naveira完成），我们建立了普适的校准下界 $\mathrm{Vol}^S(V)\ge c(m;1)\,\mathrm{vol}(S^n)$，其中 $c(m;1)=4^m/\binom{2m}{m}$。在放松（积分电流）情境下，我们证明section受限的稳定质量等于校准值，并由 $\omega$ 校准的积分 $n$ 型循环在section类中达到。我们还分析了光滑图形的等号情况。如果一个光滑图形在开集上是 $\omega$ 校准的，那么它满足 $\nabla_V V=0$ 和 $\nabla_X V=\lambda X$ 对所有 $X\perp V$，因此在局部是径向距离梯度场。特别是，对于 $m\ge 2$，不存在在 $S^n$ 上全为单位场，其图形在整个域上是 $\omega$ 校准的。最后，我们构造了一个显式的光滑恢复序列（详细介绍 $S^5$ 然后推广至所有奇数维），并证明极点壳归一化在粘接构造中的均匀非消失估计。据此结论，$\inf_V \mathrm{Vol}^S(V)=c(m;1)\,\mathrm{vol}(S^n)$，从而不存在拉文特维夫间隙。