球坍缩近似中临界超密度的计算

临界超密度 $\delta_c$ 是估算不同红移和暗晕质量区间内暗晕数目计数的关键概念，因此，它是将宇宙学模型与观测结果进行比较的有力工具。目前文献中有两种不同的计算方法，即微分半径法和常数无穷法。在这项工作中，我们证明，只有当我们仔细定义所谓的数值无穷大时，后一种方法才能产生精确的结果。尽管我们指出的这些微妙之处是在广义相对论和任何其他引力理论中精确确定 $\delta_c$ 的关键要素，但我们重点关注度规方法下的 $f(R)$ 修正引力模型；特别是，我们使用所谓的大场 ($F=1/3$) 和小场 ($F=0$) 极限。对于这两种极限，我们计算了临界密度 $\delta_c$、每对数质量间隔的共动暗晕数密度 $n_{\ln M}$ 以及给定红移下给定质量区间内的星系团数目 $N_{\rm bin}$ 的相对误差（我们的方法与其他方法之间），作为红移的函数。我们还推导出了对于任意 $F$，线性区域内密度对比度作为坍缩红移 $z_c$ 和 $\Omega_{m0}$ 的函数的解析表达式。