任意阶次下对角线以下 Padé 逼近的连分数系数计算

引力波天文学中两个致密物体的旋进过程由 $(v/c)$ 幂次的后牛顿展开描述。在大多数情况下，人们认为后牛顿展开是渐近发散的。加速幂级数收敛的一种标准技术是通过称为 Padé 逼近的有理多项式对级数进行重求和。如果我们将此逼近比作一个矩阵，那么最佳收敛是通过保持接近对角线 Padé 逼近来实现的。这大致呈现了逼近的两个子集：超对角线逼近 $P^M_N$ 和对角线以下逼近 $P_M^N$，其中 $M = N+\epsilon$，且 $\epsilon$ 取值为 0 或 1。作为有理多项式，当初始幂级数逼近的阶数增加时，分子和分母中的系数都需要重新计算。然而，对角线以下 Padé 逼近在计算上具有优势，因为它可以用类高斯连分数表示。一旦采用这种形式，连分数中的每个系数在每一阶都是唯一确定的。这意味着当我们增加原始幂级数逼近的阶数时，现在只需计算连分数中的一个新系数。虽然可以提供连分数系数的显式表达式，但在高阶逼近时它们会迅速变得难以处理。也可以通过汉克尔行列式的比值数值计算系数。然而，这些行列式可能是病态的，并导致数值不稳定。在本文中，我们提出了一种在任意阶逼近下计算连分数系数的方法。