模 l 平展上同调的可计算性

设 $X$ 为代数闭域上的代数概型，$\ell$ 为 $X$ 上可逆的素数。根据经典结果（主要归功于 A. Grothendieck、M. Artin 和 P. Deligne），平展上同调群 $\mathrm{H}^i(X,\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})$ 是有限维的。利用 M. Artin 优良邻域的 $\ell$-进变体以及关于 pro-$\ell$ 群上同调的基本结果，我们将 $X$ 的上同调表示为在 $BG$ 上构造的拓扑斯的上同调的一个受控良好的余极限，其中 $G$ 是可计算的有限 $\ell$-群。由此我们推导出，$X$ 的模 $\ell$ Betti 数是算法可计算的（在 Church-Turing 意义下）。这一事实的证明以及相关结果构成了本文的第一部分。这部分依赖于第二部分收集的工具，该部分涉及计算代数几何。最后，在第三部分中，我们提出了一种用于域元素计算的“通用”形式体系。