凯莱射影平面上的 Calabi-Yau 结构及 Bargmann 型变换

我们的目的是证明凯莱射影平面 $P^{2}\mathbb{O}$ 的穿孔余切丛 $T^{*}_{0}(P^2\mathbb{O})$ 上存在 Calabi-Yau 结构，并构造从 $T^{*}_{0}(P^2\mathbb{O})$ 上全纯函数空间到 $P^{2}\mathbb{O}$ 上 $L_{2}$ 空间的 Bargmann 型变换。该全纯函数空间对应于原始 Bargmann 变换中的 Fock 空间。通过将 $T^{*}_{0}(P^2\mathbb{O})$ 等同于复空间 $\mathbb{C}^{27}\backslash\{0\}$ 中的二次曲面，已证明其上的 K"ahler 结构，且余切丛 $T^{*}_{0}(P^2\mathbb{O})$ 的自然辛形式可表为 K"ahler 形式。我们构造该变换的方法为极化的配对：一是由投影映射 ${\bf q}:T^{*}_{0}(P^2\mathbb{O})\longrightarrow P^{2}\mathbb{O}$ 给出的自然 Lagrangian 叶状结构，另一是由 K"ahler 结构给出的极化。该变换以单参数椭圆 Fourier 积分算子群对测地流给出量子化，其典则关系由各时刻测地流作用的图所定义。结果表明，对凯莱射影平面，所得结果与欧氏空间、球面及其他射影平面上原始 Bargmann 变换的其他情形并不相同。