具有 K"ahler 模od 依赖性的 Calabi-Yau 度量

我们present了一种方法，用于构建解析 K"ahler 度量在具有显式 K"ahler 模od 依赖性的 Calabi-Yau threefolds 上的近似解析表达式。我们的策略结合了从机器学习获得的数值数据以及 K"ahler potential 的显式解析 Ansatz，以及符号回归方法。具体而言，我们使用神经网络在 K"ahler 模od 空间中选定点学习 K"ahler potential，对该数据拟合具有 K"ahler 模od 依赖参数的解析表达式，并使用符号回归确定这些系数的解析形式作为 K"ahler 模od 的函数。通过这种方式，我们重建那些保留显式 K"ahler 模od 依赖性的 Ricci-flat 度量的闭形式近似。我们将该方法应用于两个 $h^{1,1}=2$的 Calabi-Yau threefolds，即 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^2$中的一个bicubic 超曲面和 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^3$中的一个 bi-degree $(2,4)$ 超曲面，两者都容纳非平凡的离散对称性群，这些对称性简化了度量的结构。在两种情况下，得到的解析表达式在百分比水平上再现数值学习的 K"ahler potential，并尊重 underlying 流形的离散对称性。我们的结果代表了纯粹数值 Calabi-Yau 度量和解析构建之间的具体桥梁，为系统性研究其 K"ahler 模od 依赖性开辟了道路。