Bryant-Salamon $\mathrm{G}_2$ 流形与余结合纤维化

Bryant-Salamon 构造了三个含单参数的完备 $\mathrm{G}_2$ 和乐流形族，它们在渐近意义上锥化于一个 $\mathrm{G}_2$ 和乐锥。对于包括其渐近锥在内的每一个族，我们构造了一个由渐近锥形与锥形奇异余结合 4-折构成的纤维化。我们证明这些纤维化是 $\mathbb R^7$ 上以下三种著名余结合纤维化的自然推广：由 4-平面构成的平凡纤维化、$\mathbb C^3$ 的标准 Lefschetz 纤维化与一条直线的乘积，以及 Harvey-Lawson 余结合纤维化。特别地，我们描述了 4-球面 $\mathcal{S}^4$ 上反自对偶 2-形式丛以及 $\mathbb C \mathbb P^3$ 上锥的余结合纤维化，其光滑纤维为 $T^*\mathcal{S}^2$，奇异纤维为 $\mathbb R^4/\{\pm 1\}$。我们将这些纤维化与超辛几何、Donaldson 关于 Kovalev-Lefschetz 纤维化的工作、调和 1-形式以及 Joyce--Karigiannis 的 $\mathrm{G}_2$ 和乐流形构造联系起来，并为这些纤维化构造了消失圈与结合“thimble”。