基于Ball体的θ-卷积体的Brunn-Minkowski不等式

我们考虑寻找最佳函数$\varphi_n:[0,1]\to\mathbb{R}$的问题,使得对于任意一对凸体$K,L\in\mathbb{R}^n$,如下Brunn-Minkowski型不等式成立$$|K+_\theta L|^\frac{1}{n}\geq\varphi_n(\theta)(|K|^\frac{1}{n}+|L|^\frac{1}{n}),$$其中$K+_\theta L$是$K$和$L$的$\theta$-卷积体。我们证明了一个$\alpha$-凹函数的Ball体族在其超水平集中的尖锐包含关系,从而提供在范围$\left(\frac{3}{4}\right)^n\leq\theta\leq1$内的最佳可能函数,并刻画了等号成立的情形。