Browkin 判别式猜想

设 $q\ge 5$ 为素数，令 $q^*=(-1)^{(q-1)/2}\cdot q$。我们考虑整数序列 $u_q(1),u_q(2),\ldots,$，其中 $u_q(j)=(3^j-q^*(-1)^j)/4$。该序列中无重复项，因此对于每个 $n$，存在最小整数 $m$，使得 $u_q(1),\ldots,u_q(n)$ 模 $m$ 两两不同余。记 $D_q(n)=m$。考虑判别式 $D_q(n)$ 的想法源于 Browkin (2015)，他在 $3$ 是模 $q$ 的原根的情况下，猜想 $D_q(n)$ 取值的唯一可能为 $2$ 的幂和 $q$ 的幂。我们证明这对于 $n\neq 5$ 成立，但对于 $n=5$ 且有无穷多个 $q$ 时不成立。我们还确定了当 $3$ 不是模 $q$ 的原根时的 $D_q(n)$。Browkin 提出其猜想的灵感来自 Moree 和 Zumalac\'arregui (2016) 的早期工作，他们确定了 $n\ge 1$ 时的 $D_5(n)$，从而确立了 Salajan 的一个猜想。对于固定素数 $q$，他们的方法易于推广，但需要一些创新才能处理所有素数 $q\ge 7$ 和所有 $n\ge 1$。有趣的是，Fermat 素数和 Mirimanoff 素数在此发挥了特殊作用。