砖多胞体、格商与 Hopf 代数

本文受 Tamari 格、J.-L. Loday 的结合多面体实现以及 J.-L. Loday 与 M. Ronco 在二叉树上的 Hopf 代数之间相互作用的启发。我们证明这些构造在无环 $k$-三角剖分的世界中得以推广，而无环 $k$-三角剖分已被视为 V. Pilaud 与 F. Santos 的砖多胞体的顶点。我们从组合角度描述了从排列到无环 $k$-三角剖分的一个自然满射。我们证明该满射的纤维是 $\mathfrak{S}_n$ 上同余 $\equiv^k$ 的类，该同余定义为重写规则 $U ac V_1 b_1 \cdots V_k b_k W \equiv^k U ca V_1 b_1 \cdots V_k b_k W$ 的传递闭包，其中字母 $a < b_1, \dots, b_k < c$，且 $U, V_1, \dots, V_k, W$ 是 $[n]$ 上的字。进而我们证明 $k$-三角剖分上的递增翻转序是该同余下弱序的格商。此外，我们利用此满射定义了 C. Malvenuto 与 C. Reutenauer 在排列上的 Hopf 代数的一个 Hopf 子代数，以无环 $k$-三角剖分索引，并借助无环 $k$-三角剖分上的组合运算描述了该代数及其对偶中的乘积与余乘积。最后，我们从三个方向推广了结果，给出了这些构造的 Cambrian、元组与 Schröder 版本。