基于 Raney 数的扫掠覆盖界

本工作中，我们引入树中的一种顶点分离器，称为扫掠覆盖（sweep-cover），它由与树中所有节点的祖先后代关系定义。我们证明了在具有常数路径长度 $\gamma$ 的无限 $\Delta$-叉树（介于 $\Delta$-星内部节点之间）上，具有 $n$ 个子覆盖的扫掠覆盖的递推关系 $P_{\Delta, \gamma}(n)$。然后，我们给出整数组合上 Raney 数的递推关系，并表明它们为扫掠覆盖提供了下界，使得 $P_{\Delta, \gamma}(n) = \Omega\left( \frac{\sqrt{2 \pi} n^{\Delta n + \Delta + \frac{3}{2}}}{e^n ((\Delta-1)n+\Delta+1)!(n+1)!} \gamma \right)$。