某些波兰度量空间的 Scott 秩的界

如果 $\mathcal{N}$ 是一个真波兰度量空间，且 $\mathcal{M}$ 是 $\mathcal{N}$ 的任意可数稠密子度量空间，那么 $\mathcal{N}$ 在度量空间自然一阶语言中的 Scott 秩是可数的，并且实际上至多为 $\omega_1^{\mathcal{M}} + 1$，其中 $\omega_1^{\mathcal{M}}$ 是 $\mathcal{M}$（视为 $\omega$ 的子集）的 Church-Kleene 序数，即没有可从 $\mathcal{M}$ 计算的 $\omega$ 上表示的最小序数。如果 $\mathcal{N}$ 是一个刚性波兰度量空间，且 $\mathcal{M}$ 是任意可数稠密子度量空间，那么 $\mathcal{N}$ 的 Scott 秩是可数的，并且实际上小于 $\omega_1^{\mathcal{M}}$。