理论模型的Scott秩

可数结构的Scott秩是衡量该结构复杂性的量，源于Scott同构定理的证明。一个理论（我们意指 $\mathcal{L}_{\omega_1 \omega}$ 的一个句子）的Scott谱是该理论可数模型的Scott秩的集合。在 $ZFC + PD$ 下，我们对作为理论Scott谱的序数集给出了描述集合论的分类：它们是特定的 $\boldsymbol{\Sigma}^1_1$ 序数类。我们对Scott谱的研究在 $ZFC$ 中解决了若干关于Scott秩的开放问题。我们回答了Montalb\'an的一个问题，表明对每个 $\alpha < \omega_1$，存在一个 $\Pi^{\mathtt{in}}_2$ 理论，其模型的Scott秩都不小于 $\alpha$。我们还回答了Knight和Calvert的一个问题，表明存在高Scott秩的可计算模型，它们不能被低Scott秩的模型可计算逼近。最后，我们回答了Sacks和Marker的一个问题，表明 $\delta^1_2$ 是满足如下条件的最小序数 $\alpha$：若一个可计算理论 $T$ 的模型的Scott秩以 $\omega_1$ 为下界，则它们的Scott秩以 $\alpha$ 为下界。