友谊 $r$-超图中超边数的界

对于 $r \ge 2$，若对于任意 $r$ 个顶点的集合 $R$ 都有唯一的“朋友”——即存在唯一的顶点 $x \notin R$，使得对于 $R$ 的每个大小为 $r-1$ 的子集 $A \subseteq R$，集合 $A \cup \{x\}$ 均为超边——则称该 $r$-一致超图为友谊 $r$-超图。我们证明，对于 $r \geq 3$，友谊 $r$-超图中的超边数至少为 $\frac{r+1}{r} \binom{n-1}{r-1}$，并刻画了达到此界的超图。这推广了 Li 和 van Rees 在 $r = 3$ 情形下的结果。我们还得到了友谊 $r$-超图中超边数的一个新上界，改进了 Li、van Rees、Seo 和 Singhi 在 $r=3$ 时给出的已知界。