可分态集合的边界

受量子系统 $2\otimes4$、$3\otimes3$ 和 $2\otimes2\otimes2$ 中可分性问题的启发，我们研究了任意有限维希尔伯特空间 $H=H_1\otimes H_2\otimes\cdots\otimes H_n$ 的量子系统中归一化可分态凸体 $S_1$ 的极大（真）面。对于 $H$ 的任意子空间 $V$，我们关联一个 $S_1$ 的面 $F_V$，其由所有值域包含在 $V$ 中的态 $\rho\in S_1$ 组成。我们证明了当且仅当 $V$ 为超平面时，$F_V$ 是极大面。若 $V$ 是正交于积矢量的超平面，我们证明了 $\dim F_V=d^2-1-\prod(2d_i-1)$，其中 $d_i$ 是 $H_i$ 的维数且 $d=\prod d_i$。我们对 $2\otimes2$ 和 $2\otimes3$ 情形下 $S_1$ 的极大面进行了分类。特别地，我们表明对于 $2\otimes2$，极大面的最小和最大维数分别为 6 和 8；对于 $2\otimes3$，分别为 20 和 24。$S_1$ 的边界是所有极大面的并集。当 $d>6$ 时，我们证明了边界上存在满秩态 $\rho$，即 $\rho$ 的所有部分转置（包括 $\rho$ 本身）的秩均为 $d$。K.-C. Ha 和 S.-K. Kye 最近在 $2\times4$ 和 $3\otimes3$ 中构造了此类显式态。在后一种情形中，他们还构造了一个依赖于实参数 $b>0$ ($b\ne1$) 的显著面族。该族中的每个面都是一个 9 维单纯形，且面的任何内点都是满秩态。我们为这些面构造了合适的最优纠缠见证 (OEW)，并分析了 $b=0,1,\infty$ 三种极限情况。