相变梯度理论中的边界效应

我们考虑第一象限平面区域上的范德瓦尔斯自由能泛函，其中包含小参数 $\epsilon$ 的标度，并带有非齐次 Dirichlet 边界条件。边界数据的选择使得纯相之间的界面趋于水平，并钉扎在 $y$ 轴上某点，该点随 $\epsilon$ 趋于零而趋近于零。我们证明存在钉扎点的临界标度，使得当小参数 $\epsilon$ 趋于零时，来自边界的排斥效应与梯度惩罚效应相互竞争，共同决定了（适当重标度后的）界面的最优形状。该结果通过自由能泛函的渐近展开得到。因此，该分析不仅限于极小值点，还编码了涨落的渐近概率。