基于边界的分数拉普拉斯算子的 QFT 块编码

我们研究了在具有开放、零扩展边界条件的有界域上对半离散分数拉普拉斯算子进行量子 Fourier 变换（QFT）块编码的问题。在本构造的记号中，目标算子是从完整格点半离散算子中获得的有限 Toeplitz 截断 $A^{(N)}_{\alpha,h}$，其符号为 $|\xi|^\alpha$。然而，有限 QFT 寄存器对角化的是循环矩阵，而非 Toeplitz 截断。因此，native QFT 电路实际实现的是周期化代理 $\widetilde A^{(N)}_{\alpha,h}$，而非开边界算子。我们通过精确的 Toeplitz-to-circulant 别名恒等式识别了这一不匹配。为恢复开边界作用，我们对状态进行零填充至更大的 $M$ 点 QFT 寄存器，应用相同的 Fourier 符号块编码，然后压缩回物理子空间。 resulting compressed block 满足 $P_{N\to M}^{\dagger}\widetilde A^{(M)}_{\alpha,h}P_{N\to M} = A^{(N)}_{\alpha,h}+E^{(M)}$，其中 $E^{(M)}$ 由半离散卷积核的尾部控制。因此，QFT 层实现分数符号，而零填充提供开边界几何。该构造是一种用于边界感知量子模拟的算子编译原语，而非完整的 PDE 求解器。