$3x+\gamma$ 问题的束缚轨迹

固定 $\gamma \in \mathbb{Z}_{>0}^{odd}$ 与 $n\in\mathbb{Z}_{>0}$。我们定义函数 $C_\gamma:{\mathbb Z}_{>0}\to {\mathbb Z}_{>0}$，使得若 $n$ 为奇数，则 $C_\gamma(n)=3n+\gamma$；若 $n$ 为偶数，则 $C_\gamma(n)=n/2$。我们定义特征映射 $\chi_\gamma: {\mathbb Z}_{>0}\to \{0,\, 1\}$ 为 $\chi_\gamma(n)\equiv C_\gamma(n)\, {\rm mod}\, 2$。令 $n$ 开启一个与 $3x+\gamma$ 问题相关的长度为 $N$ 的整数环。令 $\rho$ 与 $\nu$ 为序列 $B = \left(\chi_\gamma^i(n)\right)_{i\geq 0}$ 单个周期中零与一的个数。在 $B$ 的单个周期中，令 $m_j$ 表示第 $(j-1)$ 个与第 $j$ 个一之间的零的个数。令 $\mathcal{M}_n$ 为与 $n$ 相关联的矩阵，其元素为 $2^{m_j}$ 的连乘积（例如 $(2^{m_0},2^{m_0+m_1},2^{m_0+m_1+m_2},...)$）。令 $p$ 为以重数 $a>0$ 整除从 $n$ 开始的整数环中所有项的素因子。再设 $p$ 分别为 $\gamma$ 与 $2^\rho - 3^\nu$ 的素因子，重数分别为 $b$ 与 $c$。最后假设 $c>b-a$。则 $\det(\mathcal{M}_n) \equiv 0 \pmod p$。我们确实找到了该性质的例子。令 $\nu$ 为素数。令 $z_j = 2^{(m_j+2m_{j+1}+3m_{j+2}+...)/\nu}$ 为 $m_j$ 的加权算术平均。我们证明，若 $p$ 为异于 $\nu$ 的 $2^\rho-3^\nu$ 的素因子，且剩余类 $p \pmod \nu$ 生成整个群 $\mathbb{Z}_\nu^{*}$，则 $p\nmid \det(\mathcal{M}_n)$ 当且仅当 $p\nmid(z_1+...+z_\nu)$ 且对任意 $1\leq i<j\leq \nu$ 有 $z_i \not\equiv z_j \pmod p$。由此，我们给出了该整数环的一个有趣性质。