算子代数的玻尔化与量子逻辑

继Birkhoff和von Neumann之后，量子逻辑传统上基于某个希尔伯特空间的闭线性子空间格，或更一般地，基于冯·诺依曼代数A中的投影格。不幸的是，这些格的非分配性以及各种其他问题损害了其逻辑解释。我们表明，受玻尔思想的启发，如果考虑基本命题不是单个投影，而是由A的适当交换子代数构成的偏序集C(A)索引的投影族，则可能解决这些困难。事实上，为了在拓扑斯理论中实现最大通用性和易用性，我们假设A是所谓的Rickart C*-代数，且C(A)由A的所有单位交换Rickart C*-子代数组成。这样的投影族以自然方式构成一个海廷代数，因此相关的命题逻辑是直觉主义的：分配性得以恢复，但排中律被放弃。随后，推广了先前对n×n矩阵的计算，我们证明了与A相关联的海廷代数作为A的“玻尔化”的内部Gelfand谱（在Banaschewski-Mulvey意义上）的基出现，而该“玻尔化”是从C(A)到集合范畴的函子拓扑斯中的一个交换Rickart C*-代数。我们解释了这一构造与部分布尔代数和Bruns-Lakser完备化的关系。最后，我们建立了希尔伯特空间H上投影格上的概率测度与A = B(H)时A的内部Gelfand谱上的概率估值之间的联系。