矩阵多项式的块极小基 $\ell$-化

求解与矩阵多项式相关的多项式特征值问题的标准方法是，首先将多项式的矩阵系数嵌入到一个矩阵束中，这被称为强线性化。该过程将问题转化为等价的广义特征值问题。然而，在某些情况下，用其他低次矩阵多项式代替线性化更为方便。这促使了矩阵多项式的强 $\ell$-化的概念，即一个次数为 $\ell$ 的矩阵多项式，具有与原矩阵多项式相同的有限和无限初等因子，以及相同数量的左右极小指标。在这项工作中，我们提出了一种新方法，用于在 $\ell< d$ 且 $\ell$ 整除 $nd$ 或 $md$ 时，构造大小为 $m\times n$ 且次数为 $d$ 的矩阵多项式的强 $\ell$-化。该方法基于被称为“强块极小基矩阵多项式”的族，并严重依赖于对偶极小基的性质。我们展示了如何从给定矩阵多项式 $P(\lambda)$ 的系数构造强块极小基 $\ell$-化。我们还表明，这些 $\ell$-化满足数值应用中的许多理想性质：无论 $P(\lambda)$ 是正则的还是奇异的，它们都是强 $\ell$-化；$\ell$-化的极小指标通过常数均匀平移与 $P(\lambda)$ 的极小指标相关联；并且 $P(\lambda)$ 的特征向量和极小基可以从任何强块极小基 $\ell$-化的特征向量和极小基中恢复。在 $\ell$ 整除 $d$ 的特殊情况下，我们引入了强块极小基矩阵多项式的一个子族，命名为“块 Kronecker 矩阵多项式”，这被证明是伴随 $\ell$-化的丰富来源。