矩阵多项式的分块Kronecker $\ell$-化的条件数

矩阵多项式 $P(\lambda)=\sum A_i\lambda^i$（次数为 $d$）的强 $\ell$-化是一个次数为 $\ell$ 的矩阵多项式 $\mathcal{L}(\lambda)$，其具有与 $P(\lambda)$ 相同的有限与无穷初等因子，以及相同数量的左、右最小指标。强 $\ell$-化可用于将关联于 $P(\lambda)$ 的多项式特征值问题转化为关联于更大但次数更低的矩阵多项式 $\mathcal{L}(\lambda)$ 的等价多项式特征值问题。通常 $\ell=1$，此时 $\mathcal{L}(\lambda)$ 被称为强线性化。然而，在某些情形（例如代数结构的保持）下，用其他低次矩阵多项式替代强线性化更为便利。本文研究了由Dopico、Pérez与Van Dooren近期识别并研究的一类矩阵多项式——所谓的分块Kronecker伴随形式的 $\ell$-化的特征值条件数。我们将这些 $\ell$-化的条件数与矩阵多项式 $P(\lambda)$ 的条件数进行比较，并表明只要对 $P(\lambda)$ 进行缩放使得 $\max\{\|A_i\|_2\}=1$，且量 $\min\{\|A_0\|_2,\|A_d\|_2\}$ 不太小，它们的条件数就与原始多项式大致相当。此外，在缩放假设 $\max\{\|A_i\|_2\}=1$ 下，我们证明任意分块Kronecker伴随形式，无论其次数或分块结构如何，其条件数都与著名的Frobenius伴随形式大致相当。我们的理论通过数值算例加以说明。