矩阵多项式的块对称块三对角线性化的条件数与向后误差

对于每个奇数次的方矩阵多项式 $P(\lambda)$，Antoniou 和 Vologiannidis 在 2004 年引入了块对称块三对角束 $\mathcal{T}_{P}(\lambda)$，Mackey 等人在 2010 年引入了其变体 $\mathcal{R}_P(\lambda)$。这两个束具有几个吸引人的特性，即它们始终是 $P(\lambda)$ 的强线性化，易于从 $P(\lambda)$ 的系数构造，$P(\lambda)$ 的特征向量可以容易地从 $\mathcal{T}_P(\lambda)$ 和 $\mathcal{R}_P(\lambda)$ 的特征向量中恢复，当 $P(\lambda)$ 对称（或 Hermite）时这两个束也是对称（或 Hermite）的，且当 $P(\lambda)$ 为 Hermite 矩阵时它们保持了 $P(\lambda)$ 的符号特征。在本文中，我们研究了 $\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 和 $\mathcal{R}_P(\lambda)$ 的数值行为。我们比较了 $P(\lambda)$ 的一个有限、非零、简单特征值 $\delta$ 作为 $P(\lambda)$ 的特征值与作为 $\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 的特征值时的条件数。我们还比较了 $\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 的近似特征对 $(z,\delta)$ 的向后误差与 $P(\lambda)$ 的近似特征对 $(x,\delta)$ 的向后误差，其中 $x$ 是以适当方式从 $z$ 恢复的。当 $P(\lambda)$ 的矩阵系数具有相近的范数，且对 $P(\lambda)$ 进行缩放使得其矩阵系数的最大范数为 1 时，我们得出结论：$\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 和 $\mathcal{R}_P(\lambda)$ 在特征值条件数和向后误差方面具有良好的数值特性。此外，我们将 $\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 的数值行为与文献中其他被充分研究的线性化进行了比较，并得出结论：当 $P(\lambda)$ 具有奇数次且已被缩放时，$\mathcal{T}_{P}(\lambda)$ 的表现优于这些线性化。