基于块克罗内克线性化求解有理特征值问题的结构后向稳定性

我们研究了对铅笔 $S(\lambda)$ 运行后向稳定的特征结构求解器的后向稳定性，其中 $S(\lambda)$ 是以 $R(\lambda)=D(\lambda)+ C(\lambda I_\ell-A)^{-1}B$ 形式表示的有理矩阵 $R(\lambda)$ 的强线性化，这里 $D(\lambda)$ 是多项式矩阵，$C(\lambda I_\ell-A)^{-1}B$ 是最小状态空间实现。我们考虑 $R(\lambda)$ 的块克罗内克线性化族，它们是高度结构化的铅笔。应用于 $S(\lambda)$ 的后向稳定特征结构求解器将计算出扰动铅笔 $\widehat S(\lambda):=S(\lambda)+\Delta_S(\lambda)$ 的精确特征结构，并且 $S(\lambda)$ 的特殊结构将会丢失。为了将该扰动铅笔与邻近的有理矩阵联系起来，我们构造了与 $\widehat S(\lambda)$ 严格等价的铅笔 $\widetilde S(\lambda)$ 以恢复原始结构，因此是扰动有理矩阵 $\widetilde R(\lambda) = \widetilde D(\lambda)+ \widetilde C(\lambda I_\ell- \widetilde A)^{-1} \widetilde B$ 的块克罗内克线性化，其中 $\widetilde D(\lambda)$ 是与 $D(\lambda)$ 次数相同的多项式矩阵。此外，我们根据 $\Delta_S(\lambda)$ 的适当范数界定了 $\widetilde D(\lambda)- D(\lambda)$、$\widetilde C - C$、$\widetilde A - A$ 和 $\widetilde B - B$ 的适当范数。这些界可能大得不可接受，但我们也引入了一种缩放，使我们能将其变得令人满意地微小。因此，对于该缩放表示，我们证明了staircase算法和 $QZ$ 算法计算出有理矩阵 $\widetilde R(\lambda)$ 的精确特征结构，该矩阵可以完全以与 $R(\lambda)$ 相同的形式表示，且定义该表示的参数非常接近 $R(\lambda)$ 的参数。这表明该方法在结构化意义下是后向稳定的。