多项式与有理矩阵中 Fiedler 类强线性化的统一框架

线性化是求解多项式特征值问题（PEPs）与有理特征值问题（REPs）的广泛使用的方法，其中 PEP/REP 被转化为广义特征值问题，进而用文献中已有的算法求解。Fiedler 类 pencil（Fiedler pencils（FPs）、广义 Fiedler pencils（GFPs）、带重复的 Fiedler pencils（FPRs）与广义带重复的 Fiedler pencils（GFPRs））是著名的强线性化类。GFPs 是一类引人关注的线性化族，且 GF pencils 是 FPRs 与 GFPRs 的基本构建块。因此，FPRs 与 GFPRs 具有独特特征，并为结构矩阵多项式提供保结构线性化。但 GFPRs 未充分利用 GF pencils 的全部潜力。事实上，并非所有 GFPs 都是 FPRs 或 GFPRs，反之亦然。本文的目的有两个。首先，为所有 Fiedler 类 pencil（FPs、GFPs、FPRs 与 GFPRs）构建统一框架。为此，我们构造了矩阵多项式 $P(\lam)$ 的一个新强线性化族（命名为 EGFPs），它囊括所有 Fiedler 类线性化。EGFP 族的一个显著特征是允许为结构化（对称、Hermitian、回文）矩阵多项式构造低带宽的保结构带状线性化。低带宽结构化线性化可能对数值计算有用。其次，直接利用 EGFPs 形成与实现相关的 $n \times n$ 有理矩阵 $G(\lam)$ 的 Rosenbrock 强线性化族。我们给出了 $P(\lam)$ 与 $G(\lam)$ 低带宽线性化的构造公式。我们证明了 $P(\lam)$ 与 $G(\lam)$ 的特征向量、极小基/指数可由其线性化的相应量轻松恢复。