有限晶格上线性化 Hartree-Fock 方程中的块循环与 Toeplitz 结构：张量方法

本文引入并分析了新的基于网格的张量方法，用于近似求解三维晶格结构系统的椭圆特征值问题。我们考虑在空间 $L_1\times L_2\times L_3$ 晶格上的线性化 Hartree-Fock 方程，针对周期与非周期问题设置，并在定域高斯型轨道基组中进行离散化。在周期情形下，Galerkin 系统矩阵遵循三级块循环（block-circulant）结构，允许基于 FFT 的对角化；而对于盒中（狄利克雷边界条件）的有限扩展系统，我们得到扰动的块 Toeplitz 表示，提供快速的矩阵-向量乘法与低存储占用。所提出的基于网格的张量技术展现出双重益处：(a) Fock 矩阵的条目通过利用表示在三维网格上的低秩张量进行一维运算来计算；(b) 在周期情形下，Fock 矩阵在傅里叶空间中对角块内的低秩张量结构将传统的三维 FFT 简化为逐维一维 FFT 的乘积。具有狄利克雷边界条件的盒中晶格型系统通过我们先前针对单分子的张量求解器进行数值处理，这使得由于三维问题数值代价降低，能够在相当大的 $L_1\times L_2\times L_3$ 晶格上进行计算。针对盒型与周期型 $L\times 1\times 1$ 晶格链在三维矩形“管”中（$L$ 高达数百）的数值模拟，证实了块结构特征值求解器在大 $L$ 极限下的理论复杂度界。