黑洞不稳定性与指数增长

最近，对任意维度真空广义相对论中稳态轴对称黑洞和黑膜的轴对称扰动稳定性给出了一个一般分析。证明了在适当扰动空间上正则能量的正性是稳定性的必要充分条件。然而，该结果中“稳定性”和“不稳定性”的概念都比人们希望得到的弱得多。本文中，我们证明如果形式为 $\pounds_t \delta g$ 的扰动——其中 $\delta g$ 是线性化爱因斯坦方程的解——具有负正则能量，那么该扰动实际上必须随时间指数增长。关键思想是利用背景时空的 $t$- 或 ($t$-$\phi$)-反射等距 $i$，并将扰动的初始数据按在 $i$ 下的奇部和偶部分解。然后我们将正则能量写为 $\mathscr E\ = \mathscr K + \mathscr U$，其中 $\mathscr K$ 和 $\mathscr U$ 分别表示奇部（动能）和偶部（势能）的正则能量。本文的主要结果之一是证明了对于任意黑洞背景 $\mathscr K$ 是正定的。我们利用 $\mathscr K$ 构造一个希尔伯特空间 $\mathscr H$，其时间演化由一个自伴算子 $\tilde {\mathcal A}$ 给出，其谱包含负值当且仅当 $\mathscr U$ 不为正。$\tilde{\mathcal A}$ 的负谱意味着在 $\mathscr H$ 中具有负谱子空间非平凡投影的扰动呈指数增长。这包括所有具有负正则能量的形式 $\pounds_t \delta g$ 的扰动。推导了一种“Rayleigh-Ritz”型的变分原理，可用于获得指数增长率的下界。