黑洞熵与有限几何

本文证明了描述 D=5 中黑洞与黑弦的 $E_{6(6)}$ 对称熵公式与具有自同构群 Weyl 群 $W(E_6)$ 的广义四边形 GQ$(2,4)$ 的几何性质密切相关。27 个荷对应于 GQ$(2,4)$ 的点，而熵公式中的 45 项对应于其线。具有 15、11 和 9 个荷的不同截断由 GQ$(2,4)$ 的三个特殊子构型表示，这些子构型为有限几何学家所熟知；它们分别是具有 15 个点的“doily”（即 GQ$(2,2)$）、具有 11 个点的点的“perp-set”以及具有 9 个点的“grid”（即 GQ$(2,1)$）。为了获得熵公式中各项的正确符号，我们对 GQ$(2,4)$ 的点使用了非对易标记。对于具有 9 个荷的 40 种不同可能截断，该标记产生了 120 个 Mermin 方——这是在关于 Bell-Kochen-Specker 型定理的研究中众所周知的对象。通过观察到 GQ$(2,4)$ 的结构关联于二阶分裂 Cayley 六边形的一种特定几何超平面（其特征为位于 9 条两两互不相交的线上的 27 个点（一个 distance-3-spread）），这些结果与我们先前在 D=4 中针对 $E_{7(7)}$ 对称熵公式所得的结果联系了起来。我们推测，使用 Jordan 代数、qubit 和/或 qutrit 来描述 D=5 熵公式的不同可能性，对应于为基于 GQ$(2,4)$ 的底层非对易几何结构采用不同的坐标。