双 quandles 的（上）同调与把体链环

本文引入多重共轭双 quandle 的（上）同调群。它是棱柱链复形的（上）同调群，与 J. S. Carter 引入的泡沫同调相关，模去某个子链复形。我们利用 $2$-上循环构造了 $S^1$-定向把体链环的不变量。当多重共轭双 quandle $X\times\mathbb{Z}_{\operatorname{type}X_Y}$ 由双 quandle $X$ 经 $n$-平行操作得到时，我们由装备有 $X$-集 $Y$ 的双 quandle $X$ 的一个 $2$-上循环（或 $3$-上循环）给出该多重共轭双 quandle $X\times\mathbb{Z}_{\operatorname{type}X_Y}$ 的一个 $2$-上循环（或 $3$-上循环）。