双正交多项式与零点映射变换

作者在 \cite{IN2} 中提出了一种生成变换 $\cal T$ 的技术，该变换将 $n$ 次多项式集合 ${\Bbb P}_n$ 映射到自身，使得若 $p\in{\Bbb P}_n$ 的所有零点均在 $(c,d)$ 中，则 ${\cal T}\{p\}$ 的所有零点均在 $(a,b)$ 中，其中 $(a,b)$ 与 $(c,d)$ 为给定的实区间。该技术基于推导一类双正交多项式的显式形式，其 Borel 测度严格符号一致，且连续广义矩之比为该参数的有理 $[1/1]$ 函数。在 \cite{IN2} 中讨论过的严格符号一致测度的具体实例包括 $x^\mu\D\psi(x)$、$\mu^x\D\psi(x)$ 以及 $x^{\log_q\mu}\D\psi(x)$，$q\in(0,1)$。在本文中，我们识别出所有满足其连续广义矩具有有理 $[1/1]$ 商的测度 $\psi$，从而刻画了此类所有可能的零点映射变换。