三角形域内行走与有界振幅Motzkin路径之间的双射
组合数学
2020-07-20 v1
摘要
本文解决了Mortimer与Prellberg提出的一个公开问题，即为两个行走族之间寻求显式双射。第一族由我们所称的三角形行走组成，即在平面内沿六个方向(0{\deg}, 60{\deg}, 120{\deg}, 180{\deg}, 240{\deg}, 300{\deg})移动且限制于三角形内的二维行走。另一族由有界高度的双色Motzkin路径构成，其中水平步在最大高度处可被禁止。我们给出了若干新双射。第一个由简单归纳证明导出，利用了从一般三角形行走到仅使用0{\deg}, 120{\deg}, 240{\deg}方向的三角形行走的对一映射。第二个基于将Mortimer与Prellberg的结果扩展至不仅从三角形一角出发、而是从内部任意点出发的三角形行走。它具有线性时间复杂度且事实上可调：通过改变一组称为脚手架的参数，我们得到多种不同的双射。最后，我们将结果推广到更高维。特别地，通过调整前述证明，我们发现了金字塔中三维行走与受限于华夫饼形有界域的二维简单行走之间一个出人意料的双射。
引用
@article{arxiv.2007.08868,
title = {Bijections between walks inside a triangular domain and Motzkin paths of bounded amplitude},
author = {Julien Courtiel and Andrew Elvey Price and Irène Marcovici},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.08868},
year = {2020}
}
备注
preprint, 43 pages, 24 figures