超奇异性的两个判据之外：除多项式的系数

设 $E: y^2 = x^3 + Ax + B$ 是定义在特征 $p\geq 3$ 的有限域上的椭圆曲线。本文证明 $E$ 的第 $p$ 个除多项式 $\psi_p(x)$ 中 $x^{p(p-1)/2}$ 项的系数等于 $(x^3 + Ax + B)^{(p-1)/2}$ 中 $x^{p-1}$ 项的系数。第一个系数为零当且仅当除多项式没有根，这等价于 $E$ 是超奇异的。Deuring (1941) 证明了超奇异性也等价于第二个系数的消失。因此，这两个系数（作为 $A$ 和 $B$ 的函数）的零点集相等；本文的主要结果显然强于后一结论。