超越 Hammersley 末通渗流：关于可能局部与全局约束的讨论

Hammersley 末通渗流（LPP），亦称 Ulam 问题，是一个被充分研究的模型，可描述如下：考虑在 $[0,1]^2$ 中独立均匀选取的 $m$ 个点，那么一条右上路径所能收集的点的最大数目 $\mathcal{L}_m$ 是多少？我们在此引入这一标准 LPP 的推广，以允许比右上条件（旋转 $45^{\circ}$ 后的 $1$-Lipschitz 条件）更一般的约束。我们更具体地关注两种情况：(i) 当约束为 $\gamma$-Hölder（局部）条件时，称之为 H-LPP；(ii) 当约束为路径熵（全局）条件时，称之为 E-LPP。这些推广也使我们能处理非定向 LPP。我们阐述了定向与非定向约束 LPP 的动机，并以一般方式给出了 $\mathcal{L}_m$ 的正确阶。