Ramification 3 Beyond Endoscopy for $\mathsf{GL}_2$ over $\mathbb{Q}$: Elliptic Part Contribution

我们继续研究 $\mathsf{GL}_2$ 上的 Beyond Endoscopy 方法，讨论在 $S = \{\infty, q_1, \dots, q_r\}$（其中 $2 \in S$）处有分离性的情形，这是对阿尔图尔（Altuğ）在无分离情形下最终步骤的推广。我们推导了在对标准表示在 $S$ 处取任意光滑测试函数的情况下，对 $n < X$ 求和的椭圆部分的显式渐近公式。作为结果，我们获得了仅在分离情形下才出现的简单迹公式所需的极限。此外，我们证明了关于任意级别和权重 $>2$ 的 cusp 形式上赫尔upy 算子迹的渐近公式，直接推广了阿尔图尔的最终结果。我们的ethods 与阿尔图尔的完全不同：我们对行列式进行第二次泊松求和，得到在 Hitchin-Steinberg 基 $\mathfrak{g}/\!/ \mathsf{G}$ 上的公式。通过将变量从 $(T, N)$ 变为 $(T, \Delta)$ 到 $\mathfrak{g}/\!/ \mathsf{G}$，我们在新的坐标中进行分析。