狮与人的最佳计划

我们研究一个可追溯至J.E. Littlewood（1885-1977）的如下问题：两只狮子能否在一个具有可求长湖泊的有界区域内抓住一个人？狮子和人均假定为以最多单位速度运动的点。湖泊是可求长的，意味着其边界长度有限。这一要求是必要的，以避免出现人因通往狮子的任何路径都无限长而永远存活的病态例子。我们证明，三只狮子在一个具有有限多个可求长湖泊的有界区域内拥有针对人的必胜策略。这在以下意义上是“紧的”：平面上存在一个区域R，人在其中拥有永远存活的策略。我们给出了这样一个区域R的严格描述：一个带有孔洞的多边形区域，其外部和内部边界是两两不相交的简单多边形。最后，我们考虑在整个平面而非紧致区域上进行的如下博弈：有任意有限数量的单位速度狮子和一个能以速度1+ε（对于某个ε>0）奔跑的快人。人是否总能存活？我们对任意ε>0肯定地回答了这个问题。通过让狮子的数量趋于无穷，我们进一步证明，人可以对抗任意可数无限集合的狮子而存活。