基于径向基函数的边界条件保证演化Kolmogorov-Arnold网络用于求解偏微分方程

深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面受到广泛关注，但神经网络的黑箱特性阻碍了对边界条件的精确 enforcement。为此，我们提出一种边界条件保证的演化Kolmogorov-Arnold网络（KAN），称为带径向基函数的边界条件保证演化KAN（BEKAN）。在BEKAN中，我们提出了三种不同且可组合的用于纳入Dirichlet、periodic 和 Neumann边界条件的方法。对于Dirichlet问题，我们使用光滑且全局的高斯径向基函数（Gaussian RBFs）构建无变量基函数，以逼近解并在网络激活层级上编码边界信息。为处理periodic问题，我们采用由一组正弦函数构成的periodic层来严格强制边界条件。对于Neumann问题，我们构构一种最小二乘形式，引导参数演化以满足Neumann条件。凭借边界嵌入RBFs、periodic层以及演化框架，BEKAN能够在严格满足边界条件的前提下进行精确的PDE仿真。为验证效果，我们在Dirichlet、Neumann、periodic以及混合边界价值问题上进行了大规模数值实验。结果表明，BEKAN在准确性上优于多层感知机（MLP）和B样条KAN。总之，本文提出的方法增强了KAN在求解PDE问题并满足边界条件方面的能力，为科学计算和工程应用的进一步发展奠定了基础。